[{"command":"insert","method":null,"selector":".course-modal-ajax-placeholder-963142","data":"\u003Cdiv class=\u0022container content-rte\u0022\u003E\n  \u003Cdiv class=\u0022row\u0022\u003E\n    \u003Cdiv class=\u0022box col-md-6 bg-primary text-white\u0022\u003E\n      \u003Ch2 class=\u0022h1 text-left\u0022\u003E  Int\u00e9gration et th\u00e9orie de la mesure\n\u003C\/h2\u003E\n                  \u003Cdiv class=\u0022field-spacing\u0022\u003E\n        \u003Cdiv class=\u0022field__label h3 dash\u0022\u003EECTS :\n          5\n        \u003C\/div\u003E\n      \u003C\/div\u003E\n                  \u003Cdiv class=\u0022field-spacing\u0022\u003E\n        \u003Cdiv class=\u0022field__label h3 dash\u0022\u003ESemester:\n          Semestre 1\n        \u003C\/div\u003E\n      \u003C\/div\u003E\n            \u003Cdiv class=\u0022field-spacing\u0022\u003E\n      \u003Cdiv class=\u0022field__label h3 dash\u0022\u003ED\u00e9tail du volume horaire\u003C\/div\u003E\n                        \u003Cdiv class=\u0022mt-5 text-justify\u0022\u003E\n                          \u003Cspan class=\u0022field__label h4 mt-5 \u0022\u003ELecture:\u003C\/span\u003E\n                                      \u003Cspan\u003E34\u003C\/span\u003E\n                      \u003C\/div\u003E\n                                              \u003Cdiv class=\u0022mt-5 text-justify\u0022\u003E\n                          \u003Cspan class=\u0022field__label h4 mt-5 \u0022\u003EDirected study:\u003C\/span\u003E\n                                      \u003Cspan\u003E24\u003C\/span\u003E\n                      \u003C\/div\u003E\n                                                            \u003C\/div\u003E\n        \u003Cdiv class=\u0022field-spacing\u0022\u003E\n      \u003Cdiv class=\u0022field__label h3 dash\u0022\u003ELangue d\u0026#039;enseignement\u003C\/div\u003E\n                        \u003Cdiv class=\u0022mt-5 text-justify\u0022\u003E\n                                      \u003Cspan\u003EFran\u00e7ais\u003C\/span\u003E\n                      \u003C\/div\u003E\n                  \u003C\/div\u003E\n        \u003Cdiv class=\u0022field-spacing\u0022\u003E\n      \u003Cdiv class=\u0022field__label h3 dash\u0022\u003EEnseignement \u00e0 distance\u003C\/div\u003E\n                        \u003Cdiv class=\u0022mt-5 text-justify\u0022\u003E\n                                      \u003Cspan\u003Enon\u003C\/span\u003E\n                      \u003C\/div\u003E\n                  \u003C\/div\u003E\n      \u003C\/div\u003E\n    \u003Cdiv class=\u0022box col-md-6\u0022\u003E\n                    \u003Cdiv class=\u0022field-spacing\u0022\u003E\n      \u003Cdiv class=\u0022field__label h3 dash\u0022\u003EProgramme \/ plan \/ contenus\u003C\/div\u003E\n                        \u003Cdiv class=\u0022mt-5 text-justify\u0022\u003E\n                                      \u003Cspan\u003E\u003Cp\u003EI. Espaces de fonctions classiques dans Rn : (1h30mn)\u003Cbr\u003E\nFonctions C 0(Rn), C 1(Rn), C k(Rn), C ?(Rn). Continuit\u00e9 uniforme. Espaces de fonctions h\u00f6ld\u00e9riennes Ck,a(Rn). Anticipation de liens avec le cours de calcul diff\u00e9rentiel (e.g. \u00e9nonc\u00e9 sans d\u00e9monstration du th\u00e9or\u00e8me des fonctions implicites restreint \u00e0 R2).\u003C\/p\u003E\n\u003Cp\u003EII. Int\u00e9grale de Riemann : (3h)\u003Cbr\u003E\nD\u00e9finition, propri\u00e9t\u00e9s, cas des fonctions continues par morceaux. Caract\u00e9risation des fonctions int\u00e9grables au sens de Riemann. Th\u00e9or\u00e8mes de d\u00e9rivation des int\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tres. Int\u00e9grale g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9e de Cauchy.\u003C\/p\u003E\n\u003Cp\u003EIII. Mesure dans Rn : (5h)\u003Cbr\u003E\nSous-ensembles de Rn. D\u00e9nombrabilit\u00e9 et non-d\u00e9nombrabilit\u00e9. Mesure ext\u00e9rieure. Ensembles mesurables. Mesure de Lebesgue. Fonctions mesurables.\u003C\/p\u003E\n\u003Cp\u003EIV. Int\u00e9gration dans Rn : (7h)\u003Cbr\u003E\nInt\u00e9grale de Lebesgue. Th\u00e9or\u00e8mes de convergence domin\u00e9e, de Fatou et de Beppo-Levi. Th\u00e9or\u00e8mes de continuit\u00e9 et d\u00e9rivabilit\u00e9 des int\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre. Espaces L1(Rn), L2(Rn), Lp(Rn), L? (Rn). In\u00e9galit\u00e9s de Minkowski, Cauchy-Schwarz, H\u00f6lder. Compl\u00e9tude de L1(Rn) et des espaces Lp(Rn) (Riesz-Fischer) et extraction de sous-suites convergeant presque partout. Mesure produit. Th\u00e9or\u00e8me de Fubini.\u003C\/p\u003E\n\u003Cp\u003EV. Diff\u00e9rentiation dans Rn : (3h)\u003Cbr\u003E\nFormule de changement de variables. Retour sur la dimension n = 1. Cas de la dimension n = 2. G\u00e9om\u00e9trie des bi-vecteurs et des surfaces infinit\u00e9simales orient\u00e9es. Cas de la dimension n = 3. Cas g\u00e9n\u00e9ral.Th\u00e9or\u00e8me de diff\u00e9rentiation de Lebesgue. Premi\u00e8re approche des noyaux r\u00e9gularisants et de la convolution.Fonction maximale de Hardy-Littlewood (optionnel).\u003C\/p\u003E\n\u003Cp\u003EVI. G\u00e9om\u00e9trie des espaces de Hilbert : (6h)\u003Cbr\u003E\nEspace l2(C) : structure hermitienne ; in\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz ; compl\u00e9tude. Espaces de Hilbert abstraits : densit\u00e9 ; s\u00e9parabilit\u00e9 ; totalit\u00e9 ; familles orthonorm\u00e9es ; bases hilbertiennes. Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie ; meilleure approximation. In\u00e9galit\u00e9 de Bessel ; convergence commutative ; d\u00e9composition selon une base hilbertienne ; identit\u00e9 de Plancherel ; identit\u00e9 de Parseval ; th\u00e9or\u00e8me d\u2019isomorphie (non canonique) \u00e0 l2 (Riesz-Fischer). Projection orthogonale sur un convexe ferm\u00e9 ; hyperplan de support ; suppl\u00e9mentaire orthogonal ; th\u00e9or\u00e8me de repr\u00e9sentation de Riesz.\u003C\/p\u003E\n\u003Cp\u003EVII. S\u00e9ries de Fourier : (6h)\u003Cbr\u003E\nFonctions 2-p\u00e9riodiques sur T = R\/2 ?Z. Retour sur la hi\u00e9rarchie d\u2019espaces fonctionnels C 1(T) ,C 0(T) , L? (T) , Lq(T) , Lp(T) , L1(T). Coefficients de Fourier des fonctions L1(T) ; s\u00e9rie de Fourier ; lemme de Riemann-Lebesgue ; th\u00e9or\u00e8me de Dirichlet ; test de Dini ; th\u00e9or\u00e8me de Jordan. Convergence en norme L2 des s\u00e9ries de Fourier ; Bessel-Parseval-Plancherel.Produit de convolution sur T; noyau de Dirichlet ; noyau de Fej\u00e9r ; th\u00e9or\u00e8me de Fej\u00e9r pour les fonctions continues sur T; totalit\u00e9 de la famille des exponentielles exp(ik ?). Principe de localisation ; constantes de Lebesgue. Convergence normale de s\u00e9ries de Fourier ; th\u00e9or\u00e8me de Bernstein. Contre-exemple de du Bois-Reymond : fonction continue dont la s\u00e9rie de Fourier diverge en un point.\u003C\/p\u003E\n\u003Cp\u003EVIII. Convolution et r\u00e9gularisation dans Rn : (5h)\u003Cbr\u003E\nRetour sur les espaces Lp : in\u00e9galit\u00e9s de Minkowski et de H\u00f6lder. Continuit\u00e9 des translations dans Lp. Produit de convolution . Support. R\u00e9sultats fondamentaux : L1* L1 dans L1 ; L1* Lp dans Lp ; Lp * Lp\u0027 dans C0unift ; in\u00e9galit\u00e9 deYoung (optionnel). Non-existence d\u2019une unit\u00e9 pour * ; approximations de l\u2019unit\u00e9 ; convergence en norme C0et en norme Lp vers l\u2019identit\u00e9. Fonctions Cinfini \u00e0 support compact ; fonctions plateau ; densit\u00e9 de Ccinfini dans Lp(Rd).\u003C\/p\u003E\u003C\/span\u003E\n                      \u003C\/div\u003E\n                  \u003C\/div\u003E\n        \u003Cdiv class=\u0022field-spacing\u0022\u003E\n      \u003Cdiv class=\u0022field__label h3 dash\u0022\u003EObjectifs d\u0026#039;apprentissage\u003C\/div\u003E\n                        \u003Cdiv class=\u0022mt-5 text-justify\u0022\u003E\n                                      \u003Cspan\u003E\u003Cp\u003EInt\u00e9grale de Riemann. Int\u00e9grale de Lebesgue. Th\u00e9orie \u00e9l\u00e9mentaire des s\u00e9ries de Fourier.\u003C\/p\u003E\u003C\/span\u003E\n                      \u003C\/div\u003E\n                  \u003C\/div\u003E\n                                        \u003Cdiv class=\u0022field-spacing\u0022\u003E\n      \u003Cdiv class=\u0022field__label h3 dash\u0022\u003ENature de l\u0026#039;\u00e9valuation\u003C\/div\u003E\n                        \u003Cdiv class=\u0022mt-5 text-justify\u0022\u003E\n                                      \u003Cspan\u003EEvaluation Continue non Int\u00e9grale\u003C\/span\u003E\n                      \u003C\/div\u003E\n                  \u003C\/div\u003E\n      \u003C\/div\u003E\n  \u003C\/div\u003E\n\u003C\/div\u003E\n","settings":null}]